Question

【题目】如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．

（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；

（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x+2；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．

【解析】

试题分析：（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；

（2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=﹣1，进而得出抛物线的解析式．

解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，

根据顶点式得：y=x2﹣2x+2；

（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1=1，

∴c=1﹣2b，

∵顶点纵坐标c+b2+1=2﹣2b+b2=（b﹣1）2+1，

∴当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．