题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；
（3）当m=35时，请直接写出t的值；
（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．
【答案】
（1）
解：如图1，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为E，
∵OA=AB，
∴OD=DB=
OB，
∵∠OAB=90°，
∴AD=OB，
∵点B的坐标为：（60，0），
∴OB=60，
∴OD=OB=×60=30，
∴点A的坐标为：（30，30），
∵直线l平行于y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，
∴OE=40，
在Rt△OCE中，OC=50，
由勾股定理得：
CE=
=
=30，
∴点C的坐标为：（40，﹣30）；
（2）
解：如图2，
∵∠OAB=90°，OA=AB，
∴∠AOB=45°，
∵直线l平行于y轴，
∴∠OPQ=90°，
∴∠OQP=45°，
∴OP=QP，
∵点P的横坐标为t，
∴OP=QP=t，
在Rt△OCE中，
OE=40，CE=30，
∴tan∠EOC=
，
∴tan∠POR=
=，
∴PR=OPtan∠POR=t，
∴QR=QP+PR=t+t=
t，
∴当0＜t＜30时，m关于t的函数关系式为：m=t；
（3）
解：由（2）得：当0＜t＜30时，m=35=t，解得：t=20；
如图3，
当30≤t≤40时，m=35显然不可能；
当40＜t＜60时，∵OP=t，则BP=QP=60﹣t，
∵PR∥CE，
∴△BPR∽△BEC，
∴
=
，
∴
=
，
解得：PR=90﹣
t，
则m=60﹣t+90﹣t=35，
解得：t=46，
综上所述：t的值为20或46；
（4）
解：如图4，
当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时，此时t=40，直线l恰好经过点C，
则∠MBP=∠COP，
故此时△BMP∽△OCP，
则
=
，
即
=
，
解得：x=15，
故M1（40，15），同理可得：M2（40，﹣15），
综上所述：符合题意的点的坐标为：M1（40，15），M2（40，﹣15）．
【解析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合B点坐标得出A，C点坐标；
（2）利用锐角三角函数关系结合（1）中所求得出PR，QP的长，进而求出即可；
（3）利用（2）中所求，利用当0＜t＜30时，当30≤t≤60时，分别利用m与t的关系式求出即可；
（4）利用相似三角形的性质，得出M点坐标即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．
