Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是____________.

Answer 1

5

设BE=x，则EC=4﹣x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=，则DF=4﹣FC=4﹣=x²﹣x+4=（x﹣2）²+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF²=AD²+DF²，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为=5．
解：设BE=x，则EC=4﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴=，即=，解得FC=，
∴DF=4﹣FC=4﹣=x²﹣x+4=（x﹣2）²+3
当x=2时，DF有最小值3，
∵AF²=AD²+DF²，
∴AF的最小值为=5．
故答案为：5．