题目内容
【题目】阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题.
计算:(1﹣﹣﹣)×(+++)﹣(1﹣﹣﹣﹣)×(++).
令++=t,则
原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2
=
问题:
(1)计算
(1﹣﹣﹣﹣…﹣)×(++++…++)﹣(1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣)×(+++…+);
(2)解方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.
【答案】
(1)
解:设++…+=t,
则原式=(1﹣t)×(t+)﹣(1﹣t﹣)×t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t
=;
(2)
解:设x2+5x+1=t,
则原方程化为:t(t+6)=7,
t2+6t﹣7=0,
解得:t=﹣7或1,
当t=1时,x2+5x+1=1,
x2+5x=0,
x(x+5)=0,
x=0,x+5=0,
x1=0,x2=﹣5;
当t=﹣7时,x2+5x+1=﹣7,
x2+5x+8=0,
b2﹣4ac=52﹣4×1×8<0,
此时方程无解;
即原方程的解为:x1=0,x2=﹣5.
【解析】(1)设++…+=t,则原式=(1﹣t)×(t+)﹣(1﹣t﹣)×t,进行计算即可;
(2)设x2+5x+1=t,则原方程化为:t(t+6)=7,求出t的值,再解一元二次方程即可.
【考点精析】利用换元法和有理数的四则混合运算对题目进行判断即可得到答案,需要熟知换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法;在没有括号的不同级运算中,先算乘方再算乘除,最后算加减.
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