题目内容
【题目】如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM的最小值及点M的坐标；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A的坐标为（1，0）．点B的坐标为（0，3）．（2）y=x2﹣4x+3．（3）M（2，1）．（4）点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+
）或（2，3﹣）．
【解析】
试题分析：（1）将x=0代入直线的解析式可求得点B的坐标，将y=0代入直线的解析式可求得点A的坐标；
（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、k的方程组，求得a、k的值，从而可求得抛物线的解析式；
（3）先求得抛物线的对称轴方程，从而可求得点C的坐标，由轴对称图形的性质可知AM+BM=BM+MC，当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的长，从而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，从而得到点M的坐标；
（4）设点P的坐标为（2，m），然后分为AP=PB，AP=AB，BA=BP三种情况列方程求解即可．
解：（1）∵将x=0代入直线的解析式得：y=3，
∴点B的坐标为（0，3）．
∵将y=0代入直线的解析式得：﹣3x+3=0，解得：x=1．
∴点A的坐标为（1，0）．
（2）将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：
，
解得：a=1，k=﹣1．
抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．
（3）如图所示：连接BC交抛物线的对称轴于点M，连接AM．
∵由题意可知抛物线的对称轴为x=2，
∴点C的坐标为（3，0）．
∵点A与点M关于x=2对称，
∴AN=MC．
∴AM+BM=BM+MC．
∵当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值为BC的长．
∴AM+BM的最小值=
=3
．
∵MD∥OB，
∴△CDM∽△COB．
∴
，即
．
解得：MD=1．
∴M（2，1）．
（4）设点P的坐标为（2，m）．
①当PA=PB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．
整理得：6m=12．
解得：m=2．
点P的坐标为（2，2）．
②当AP=AB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（1﹣0）2+（0﹣3）2．
整理得：m2=9．
解得：m=3或m=﹣3（舍去）．
点P的坐标为（2，3）．
③当BA=BP时，由两点间的距离公式可知：（1﹣0）2+（0﹣3）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．
整理得：（m﹣3）2=6．
解得：m=3+
或m=3﹣．
点P的坐标为（2，3+）或（2，3﹣）．
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．
