题目内容
如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=分析：根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°，连接OE、OF、OQ，证四边形CEOF是正方形，求出半径OE，求出QA，求出DQ、OQ的长度，即可求出答案．
解答：
解：∵AB2=100，AC2+BC2=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°，OE=OF，BE=BQ，AQ=AF，CE=CF，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
∴BC-OE+AC-OE=AB，
∴OE=OQ=
（6+8-10）=2，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
∴AD=
AB=5，
∴DQ=5-4=1，
∴tan∠ODA=
=
=2．
故答案为：2．
解：∵AB2=100，AC2+BC2=100，∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°，OE=OF，BE=BQ，AQ=AF，CE=CF，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
∴BC-OE+AC-OE=AB，
∴OE=OQ=
| 1 |
| 2 |
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
∴AD=
| 1 |
| 2 |
∴DQ=5-4=1，
∴tan∠ODA=
| OQ |
| DQ |
| 2 |
| 1 |
故答案为：2．
点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能求出OQ、OD的长度是解此题的关键．
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