Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x2-

1

2

x-1与x轴相交于点A、B，与y轴相交于C．
（1）求点A、B、C的坐标及直线BC的解析式；
（2）设抛物线的顶点为点D，求△ACD的面积S
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP是以AC为一腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别把x=0和y=0代入抛物线，即可求出A、B、C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出即可；
（2）求出抛物线的顶点坐标，过D作DN⊥OA于N，根据S_△ACD=S_梯形ONDC+S_△AND-S_△AND和三角形的面积代入求出即可；
（3）分为两种情况：①以C为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P、P′，设此时点的坐标是（x，-x-1），根据勾股定理得出1²+2²=（0-x）²+[-1-（-x-1）]²，即可求出此时P的坐标；②以A为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P″，同法可得到1²+2²=（2-x）²+[0-（-x-1）]²，求出即可．

解答：解：（1）把y=0代入抛物线得：

1

2

x²-

1

2

x-1=0，
解得：x₁=2，x₂=-1，
∴A（2，0），B（-1，0），
把x=0代入抛物线得：y=0-0-1=-1，
∴C（0，-1），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
把B（-1，0），C（0，-1）代入得：

0=-k+b -1=b

，
解得：k=-1，b=-1，
∴y=-x-1，
答：A（2，0），B（-1，0），C（0，-1），直线BC的解析式是y=-x-1．

（2）过D作DN⊥OA于N，
∵y=

1

2

x²-

1

2

x-1，
∴x=-

b

2a

=-

- 1 2

2× 1 2

=

1

2

，
把x=

1

2

代入抛物线得：y=-

9

4

，
∴D（

1

2

，-

9

4

），
∴N（

1

2

，0），
∵A（2，0），C（0，-1），
∴AN=2-

1

2

=

3

2

，ON=

1

2

，DN=

9

4

，OC=1，
∴S_△ACD=S_梯形ONDC+S_△AND-S_△AND，
=

1

2

×（1+

9

4

）×

1

2

+

1

2

×

3

2

×

9

4

-

1

2

×2×1，
=

3

2

，
答：△ACD的面积是

3

2

．

（3）分为两种情况：
①以C为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P、P′，
此时所得三角形ACP和三角形ACP′是等腰三角形，
设此时点的坐标是（x，-x-1），
∵A（2，0），C（0，-1），AC=CP，
由勾股定理得：AC²=CP′²，
∴1²+2²=（0-x）²+[-1-（-x-1）]²，
解得：x=±

10

2

，
当x=

10

2

时，-x-1=-

10 +2

2

，
当x=-

10

2

时，-x-1=

10 -2

2

，
∴P的坐标是（

10

2

，-

10 +2

2

）或（-

10

2

，

10 -2

2

），
②以A为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P″，
同法可得到：1²+2²=（2-x）²+[0-（-x-1）]²，
解得：x₁=0，x₂=1，
∵C（0，-1），
∴x=0舍去，
∴x=1，-x-1=-2，
∴P″（1，-2）．
答：在直线BC上存在一点P，使△ACP是以AC为一腰的等腰三角形，点P的坐标是（

10

2

，-

10 +2

2

）或（-

10

2

，

10 -2

2

）或（1，-2）．

点评：本题综合考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，用待定系数法求出一次函数的解析式，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度，对学生提出较高的要求，分类讨论思想的运用．