Question

已知抛物线y=ax²+bx-1经过点A（一1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C
（1）求抛物线对应的函数表达式（用含m的式子表示）；
（2）如图，⊙M经过A、B、C三点，求扇形MBC（阴影部分）的面积S（用含m的式子表示）；
（3）若抛物线上存在点P，使得△APB∽△ABC，求m的值．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据点（一1，0）、（m，0）在抛物线y=ax²+bx-1上，把它代入求出a、b的值，即可求出解析式．
（2）本题需先令x=0，得出y的值，得出OA=OC，从而求出∠OAC、∠BMC、∠OAC的度数，再根据BC的长，求出MB、MC的长，即可求出扇形MBC（阴影部分）的面积S．
（3）本题需先根据△ABC∽△APB，求出∠PAB、∠BAC的度数，再过点P作PD⊥x轴，连接PA、PB，得出PD=AD，设出点P坐标，得出解析式，求出x₁、x₂的值，再求出P₁与P₂的坐标，即可求出AC•AP=AB²解出m的值．

解答：解：（1）∵点（-1，0）、（m，0）在抛物线y=ax²+bx-1上
∴

a-b-1=0 m2a+mb-1=0

，
解得

a= 1 m b= 1-m m

∴抛物线对应的函数表达式为：y=

1

m

x2+

1-m

m

x-1．

（2）在抛物线对应的函数表达式中，令x=0，得y=-1，
∴点C坐标为（0，-1）．
∴OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴∠BMC=2∠OAC=90°．
又∵BC=

m2+1

，∴MB=MC=

2

2

BC．
∴S=

1

4

π•MB2=

1

4

π•(

2

2

BC)2=

π

8

BC2=

(m2+1)π

8

．

（3）如图，∵△ABC∽△APB，
∴∠PAB=∠BAC=∠45°，

AB

AP

=

AC

AB

，
过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA、PB，
在Rt△PDA中，
∵∠PAB=∠APD=45°，
∴PD=AD，
设点P坐标为（x，x+1），
∵点P在抛物线上，
∴x+1=

1

m

x2+

1-m

m

x-1，即x²+（1-2m）x-2m=0，
解得x₁=-1，x₂=2m，
∴P₁（2m，2m+1），P₂（-1，0）（不合题意，舍去），
此进AP=

2

PD=（2m+1）

2

，又由

AB

AP

=

AC

AB

，得AC•AP=AB²，
则

2

（2m+1）

2

=（m+1）²，整理，得m²-2m-1=0，
解得m₁=1+

2

，m₂=1-

2

（舍去），
m的值是1+

2

．

点评：此题考查了二次函数的综合问题，综合应用二次函数的图象和性质，能根据已知条件和图形列出式子求出答案是本题的关键．