题目内容

【题目】已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等,求它们的面积的比值.

【答案】解:设它们的周长是1.根据题意,得
正三角形的边长是 ,正六边形的边长是
则正三角形的边心距是 ,正六边形的边心距是
则正三角形的面积是 ,正六边形的面积是
则它们的面积比是2:3.
【解析】根据正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半,所以只需根据它们的周长计算其边心距;在由正多边形的半径、边心距和边长组成的直角三角形中,根据锐角三角函数的概念可以分别求得它们的边心距,再进一步计算其面积,从而得到其比值.
【考点精析】通过灵活运用正多边形和圆,掌握圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角;圆的外切四边形的两组对边的和相等即可以解答此题.

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