Question

已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：
①BN=CP：   ②OP=ON，且OP⊥ON
(2) 设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。

Answer 1

（1）证明：如图1，
①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB。
∵DP⊥CN，∴∠CMD=∠DOC=90°。
∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°。∴∠CPD=∠CNB。
∵DC∥AB，∴∠DCN=∠CNB=∠CPD。
∵在△DCP和△CBN中，∠DCP=∠CBN，∠CPD=∠BNC，DC=BC，
∴△DCP≌△CBN（AAS）。∴CP=BN。
②∵在△OBN和△OCP中，OB=OC，∠OCP=∠OBN， CP="BN" ，
∴△OBN≌△OCP（SAS）。∴ON=OP，∠BON=∠COP。
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，即∠NOP=∠BOC=90°。
∴ON⊥OP。
（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，∴O到BC边的距离是2。
图1中，，
图2中，。
∴以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：
 。

解析