题目内容
如图，二次函数y=ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数y=| k | x |
的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．①求实数k的值；
②求二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式；
③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；
④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．
分析：①把A（1，4）代入即可；
②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根据S=S△ABQ-S△AOH-S△BNO-S矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（-2，-2），把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得出方程组
，求出方程组得解即可；
③充分利用（-2，-2）这一坐标，由△DFE相似于△DBO求得EF的长（含m），再表示出F到x轴的距离，利用△EDB的面积减去△EDF的面积即可建立S与m的函数关系
④S=
m（1+
-m），当m=
时，S最大，把m=
代入即可求出s，从而得到E的坐标．
②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根据S=S△ABQ-S△AOH-S△BNO-S矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（-2，-2），把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得出方程组
|
③充分利用（-2，-2）这一坐标，由△DFE相似于△DBO求得EF的长（含m），再表示出F到x轴的距离，利用△EDB的面积减去△EDF的面积即可建立S与m的函数关系
④S=
| 1 |
| 2 |
| m+1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解答：解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，
答：实数k的值是4．
②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，
设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，
则：S=S△ABQ-S△AOH-S△BNO-S矩形ONQH，
即：3=
（1+c）（4+d）-
×1×4-
cd-d×1，
cd=k=4，
解得：c=2，d=2，
∴B（-2，-2），
把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得：
，
解得：
，
∴y=x2+3x，
答：二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式是y=x2+3x．
⑨把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0，
解得：x1=0，x2=-3，
∴D（-3，0），
即OD=3，
∵B（-2，-2），
∴由勾股定理得：OB=2
，
∵EF∥OB，
∴△DFE∽△DBO，
∴
=
，
∴
=
，
∴EF=2
-
m，
过F作FC⊥x轴于C，
根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：
=
，
∴
=
，
FC=
S=S△EDB-S△EDF
=
DE×BM-
FC×DE，
即S=-
m2+m，
∴S与m的函数关系S=-
m2+m．
④S=-
m2+m．
当m=
时，S最大，是
，
∴E(-
，0)，
答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是
，此时E点的坐标是（-
，0）．
答：实数k的值是4．
②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，
设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，
则：S=S△ABQ-S△AOH-S△BNO-S矩形ONQH，
即：3=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
cd=k=4，
解得：c=2，d=2，
∴B（-2，-2），
把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得：
|
解得：
|
∴y=x2+3x，
答：二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式是y=x2+3x．
⑨把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0，
解得：x1=0，x2=-3，
∴D（-3，0），
即OD=3，
∵B（-2，-2），
∴由勾股定理得：OB=2
| 2 |
∵EF∥OB，
∴△DFE∽△DBO，
∴
| EF |
| OB |
| DE |
| DO |
∴
| EF | ||
2
|
| 3-m |
| 3 |
∴EF=2
| 2 |
2
| ||
| 3 |
过F作FC⊥x轴于C，
根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：
| FC |
| BM |
| DE |
| DO |
∴
| FC |
| 2 |
| 3-m |
| 3 |
FC=
| 6-2m |
| 3 |
S=S△EDB-S△EDF
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即S=-
| 1 |
| 3 |
∴S与m的函数关系S=-
| 1 |
| 3 |
④S=-
| 1 |
| 3 |
当m=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴E(-
| 3 |
| 2 |
答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，解二元一次方程，三角形的面积，平行线的性质，勾股定理，函数的最值，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
练习册系列答案
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