Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN．
（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长．
（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM ．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC ．
∴∠ANM=∠CMN ．
∴∠CMN=∠CNM ．
∴ CM=CN．
（2）如图，过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴ MC=3ND=3HC．
∴ MH=2HC．
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN．
在Rt△CDN中，DC=2x=4，
∴．
∴HM=2．
在Rt△MNH中，MN=．