题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2，0），抛物线的对称轴x=-1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形BOCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=-
x2-x+4；（2）存在,F（-2，4）； （3）点P的坐标（-3，1）．
【解析】试题分析: （1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标；
（3）根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
试题解析:
（1）由A、B关于对称轴对称，A点坐标为（2，0），得 B（-4，0）．
将A、B、C点的坐标代入函数解析式，得
，
解得
，
抛物线的解析式为y=-
x2-x+4；
（2）如图1，
，
设BC的解析式为y=kx+b，
将B、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得
，
BC的解析式为y=x+4．
G在BC上，D在抛物线上，得
G（m，m+4），F（m，-
m2-m+4）．
DG=-
m2-m+4-（m+4）=-
m2-2m．
S四边形BOCF=S△BOC+S△BCF=
BOOC+
FGBO
=
×4×4+
×4（-
m2-2m）
=8+2[-
（m+2）2+2]
当m=-2时，四边形BOCF的面积最大是12，
当m=-2时，-
m2-m+4=4，即F（-2，4）；
（3）如图2
，
当x=-1时，y=-
x2-x+4=
，即D（-1， 
）
y=x+4=3，即E（-1，3）．
DE=
-3=
．
P在直线BC上，Q在抛物线上，得
P（m，m+4），Q（m，-
m2-m+4）．
PQ=-
m2-m+4-（m+4）=-
m2-2m．
由以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，得
DE=PQ，即-
m2-2m=
，
解得m=-1（不符合题意，舍），m=-3．
当m=-3时，y=m+4=1，
即P（-3，1）．
以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标（-3，1）．
点睛: 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键；利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键．
