Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=2，AB=3，AD=7，在线段AD上能否找到一个点P，使得以点P、A、B为顶点的三角形和以点P、C、D为顶点的三角形相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应的PD的长；若不能，说明理由．

Answer 1

解：能相似．
如图：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠A=∠D=90°，
设PD=x，
∵CD=2，AB=3，AD=7，
则PA=AD-PD=7-x，
∴①当时，△PCD∽△PBA，
则，
解得：x=，
∴PD=；
②当时，△PCD∽△BPA，
则，
解得：x=1或x=6，
∴PD=1或6，
∴这样的点有3个，PD的长为或1或6．
分析：分别从①当时，△PCD∽△PBA，②当时，△PCD∽△BPA，去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．