Question

将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B₁A₁C＝30°）按图①的方式放置，固定三角板A₁B₁C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A₁C交于点E，AC与A₁B₁交于点F，AB与A₁B₁交于点O．

（1）求证：△BCE≌△B₁CF.
（2）当旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直吗？请说明理由．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）垂直．理由见试题解析．

试题分析：（1）根据题意可知∠B=∠B₁，BC=B₁C，∠BCE=∠B₁CF，利用ASA即可证出△BCE≌△B₁CF；
（2）由旋转角等于30°得出∠ECF=30°，所以∠FC B₁=60°，根据四边形的内角和可知∠BO B₁的度数为360°﹣60°﹣60°﹣150°，最后计算出∠BOB′的度数即可．
试题解析：（1）证明：两块大小相同的含30°角的直角三角板，所以∠BCA=∠B₁CA₁，
∵∠BCA﹣∠A₁CA=∠B₁CA₁﹣∠A₁CA，即∠BCE=∠B₁CF，∵∠B=∠B₁，BC=B₁C，∠BCE=∠B₁CF，∴△BCE≌△B₁CF；
（2）解：AB与A₁B₁垂直，理由如下：旋转角等于30°，即∠ECF=30°，所以∠FCB₁=60°，又∠B=∠B₁=60°，根据四边形的内角和可知∠BOB₁的度数为360°﹣60°﹣60°﹣150°=90°，所以AB与A₁B₁垂直．