Question

如图，梯形ABCD中，DE∥AB交下底BC于E，AF∥CD交下底BC于F，且DE⊥AF，垂足为O．若AO=3cm，DO=4cm，四边形ABED的面积为36cm²，则梯形ABCD的周长为（　　）

A．41cm

B．43cm

C．46cm

D．49cm

Answer 1

分析：过O作OM⊥AD于M，交BC于N，求出ON⊥BC，由勾股定理求出AD=5cm，根据三角形面积公式求出OM，根据平行四边形ABED的面积求出高MN=

36

5

cm，求出ON=

24

5

cm，证△AOD∽△FOE得出

AD

EF

=

AO

OF

=

DO

OE

=

OM

ON

，求出EF、OF、OE，求出AF、DE根据平行四边形的性质和判定求出AB、CD、BE、CF，求出BC，即可求出答案．

解答：解：过O作OM⊥AD于M，交BC于N，
∵AD∥BC，
∴ON⊥BC，
在Rt△AOD中，AO=3cm，DO=4cm，由勾股定理得：AD=5cm，
∵S_△AOD=

1

2

×AD×OM=

1

2

×AO×DO，
∴

1

2

×5×OM=

1

2

×3×4，
OM=

12

5

（cm），
∵平行四边形ABED的面积为36cm²，AD=5cm，
∴高MN=

36

5

cm，
∴ON=

36

5

-

12

5

=

24

5

（cm），
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△FOE，
∴

AD

EF

=

AO

OF

=

DO

OE

=

OM

ON

，
∴

5

EF

=

3

OF

=

4

OE

=

12 5

24 5

=

1

2

，
∴EF=10（cm），OE=8（cm），OF=6（cm），
∴DE=4cm+8cm=12cm，AF=3cm+6cm=9cm，
∵AD∥BC，AF∥DC，DE∥AB，
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴AB=DF=12cm，AF=CD=9cm，BE=AD=5cm，CF=AD=5cm，
∴BC=5cm+10cm+5cm=20cm，
即梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=12+20+9+5=46（cm）．
故选C．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积公式等知识点的综合运用，综合性比较强，有一定的难度．