Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点．

(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线．

(2)若点(x₀，y₀)在抛物线上，且0≤x₀≤4，试写出y₀的取值范围．

(3)设平行于y轴的直线x＝t交线段BM于点P(点P能与点M重合，不能与点B重合)交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S．

①求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围；

②求S取得最大值时点P的坐标；

③设四边形OBMC的面积为，试判断是否存在点P，使得S＝，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意，得方程组 　　解得a＝－1，b＝2，c＝3． 　　∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，顶点坐标为M(1，4)；图象略． 　　(2)利用图象可得，在0≤x0≤4的范围内， 　　当x0＝4时，y0最小＝－5；当x0＝1时，y0最大＝4∴－5≤y0≤4． 　　(3)①S四边形AQPC＝S△AOC＋S梯形OQPC 　　S△AOC＝＝＝ 　　∵点B、M坐标分别为B(3，0)，M(1，4) 　　∴可求得线段BM所在直线解析式为y＝－2x＋6 　　∴当x＝t，y＝－2t＋6 　　∴点P、Q坐标分别为P(t，－2t＋6)，Q(t，0) 　　∴S梯形OQPC＝＝＝－t2＋t 　　S四边形AQPC＝－t2＋t＋ 　　∵点P能与点M重合，不能与点B重合∴1≤t＜3 　　∴S＝－t2＋t＋，1≤t＜3； 　　②当t＝时，S取得最大值，此时点P坐标为(，)； 　　③过点M作MN⊥x轴，垂足为点N． 　　∴S/＝S△BMN＋S梯形OCMN 　　＝＋＝＋＝ 　　若S＝，则－t2＋t＋＝即2t2－9t＋12＝0 　　∵Δ＝81－96＜0，方程无实数解 　　∴不存在点P，使得S＝．