Question

如图，P是射线y=

3

5

x（x＞0）上的一个动点，以点P为圆心的圆与y轴相切于点C，与x轴的正半轴交于A、B两点．
（1）若⊙P的半径为5，求A、P两点的坐标？
（2）求以P为顶点，且经过点A的抛物线所对应的函数关系式？
（3）在（2）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D？请说明理由．
（4）试问：是否存在这样的直线l，当点P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l所对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据射线的斜率先求出C点坐标，进而求得P点坐标，再求出圆P的方程，令y=0即可求出A点坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-5）²+3，将A点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（3）先求出D点坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式，即可验证点D不在抛物线上；
（4）可先根据直线OP的解析式设出P点的坐标，然后用P点的横坐标仿照（1）的方法求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式．

解答：解：（1）由题意可知

OC

PC

=

3

5

，已知PC=5，
解得OC=3=y_P，则x_P=5，
故P点坐标为P（5，3），C点坐标为C（0，3），
圆P的方程为（x-5）²+（y-3）²=25，
令y=0，解得x=1或x=9，
由图象可知A、B点坐标为A（1，0），B（9，0），
故A（1，0），P（5，3）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-5）²+3，
将A点坐标为A（1，0），代入y=a（x-5）²+3，
解得a=-

3

16

，
故抛物线的解析式为y=-

3

16

（x-5）²+3，

（3）因为D与C关于原点对称，故D点坐标为D（0，-3），
将D点坐标代入y=-

3

16

（x-5）²+3，
即-3≠-

3

16

（0-5）²+3=-

27

16

，
故点D不在抛物线上；

（4）设P（m，n），m＞0，则n=

3

5

m，
过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，则AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=

3

5

m，
∴AQ=

4

5

m，
∴A（

1

5

m，0），B（

9

5

m，0），C（0，

3

5

m），
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a（x-

1

5

m）（x-

9

5

m），
将C（0，

3m

5

）代入解析式，
得a=

5

3m

，
∴y=

5

3m

（x-

1

5

m）（x-

9

5

m）
=

5

3m

（x²-2mx+

9

25

m²）
=

5

3m

[（x-m）²-

16

25

m²]
∴y=

5

3m

（x-m）²-

16

15

m
∴抛物线的顶点坐标为（m，-

16

15

m）
∴存在直线l：y=-

16

15

x，
当P在射线y=

3

5

x上运动时，过A，B，C三点的抛物线的顶点都在直线上．存在直线l：y=-

16

15

x．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和圆的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．