Question

如图，P是射线y=

3

5

x（x＞0）上的一动点，以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正半轴交于A、B两点．
（1）若⊙P的半径为5，则P点坐标是

 

；A点坐标是

 

；以P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式是

 

；
（2）在（1）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，请说明理由；
（3）试问：是否存在这样的直线l，当P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如果圆的半径为5，那么P点的横坐标为5，可根据直线O的解析式求出P点的横坐标，连接PA，过P作PQ⊥BA于M，那么PQ=OC，由此在直角三角形OPQ中，根据圆的半径和P点的纵坐标求出AM的长，即可求出A点的坐标，然后用顶点式二次函数通式设抛物线的解析式来设抛物线的，然后将A点坐标代入其中即可求出抛物线的解析式．
（2）由题意可知：D点必在y轴上，因此可根据（1）的抛物线的解析式求出其与y轴的交点，即可判断出D点是否在抛物线上．
（3）可仿照（1）的解题过程进行求解．可先根据直线OP的解析式设出P点的坐标，然后用P点的横坐标仿照（1）的方法求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式．

解答：解：（1）P（5，3）；
A（1，0）；
y=-

3

16

（x-5）²+3．

（2）C点关于原点的对称点D的坐标为（0，-3），
∵抛物线y=-

3

16

(x-5)2+3与y轴的交点（0，-

27

16

），
∴D点不在抛物线y=-

3

16

（x-5）²+3上．

（3）设P（m，n），m＞0，则n=

3

5

m，
过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，则AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=

3

5

m，
∴AQ=

4

5

m，
∴A（

1

5

m，0)，B（

9

5

m，0），C（0，

3

5

m），
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a（x-

1

5

m）（x-

9

5

m），
将C（0，

3m

5

）代入解析式，
得a=

5

3m

，
∴y=

5

3m

（x-

1

5

m）（x-

9

5

m）
=

5

3m

（x²-2mx+

9

25

m²）
=

5

3m

[（x-m）²-

16

15

m²]
∴y=

5

3m

（x-m）²-

16

15

m
∴抛物线的顶点坐标为（m，-

16

15

m）
∴存在直线l：y=-

16

15

x，
当P在射线y=

3

5

x上运动时，过A，B，C三点的抛物线的顶点都在直线上．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、切线的性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．