题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.
(1)求证:KE=GE;
(2)若KG2=KDGE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= .
【解析】试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;
(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KDGE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;
(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.
试题解析:(1)如图1,连接OG.
∵EG为切线,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.
∵KG2=KDGE,即 ,
∴ ,
又∵∠KGE=∠GKE,
∴△GKD∽△EGK,
∴∠E=∠AGD,
又∵∠C=∠AGD,
∴∠E=∠C,
∴AC∥EF;
(3)连接OG,OC,如图3所示,
∵EG为切线,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
∵sinE=sin∠ACH=
,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,
∵KE=GE,AC∥EF,
∴CK=AC=5t,
∴HK=CK-CH=t.
在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,
即(3t)2+t2=(2 )2,解得t= .
设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,
即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.
∵EF为切线,
∴△OGF为直角三角形,
在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH= ,
∴FG=