Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．
求证：（1）∠CFD=∠CAD；
（2）EG＜EF．

Answer 1

分析：（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，

DC

DF

=

AE

EF

，再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A、F、D、C四点共圆即可；
（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．

解答：（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，
∵AD⊥BC，DF⊥BE，
∴∠DFE=∠ADB，
∴∠BDF=∠DEF，
∵BD=DC，DE=AE，
∵∠BDF=∠DEF，∠EFD=∠BFD=90°，
∴△BDF∽△DEF，
∴

BD

DF

=

DE

EF

，
则

DC

DF

=

AE

EF

，
∵∠AEF=∠CDF，
∴△CDF∽△AEF，
∴∠CFD=∠AFE，
∴∠CFD+∠AEF=90°，
∴∠AFE+∠CFE=90°，
∴∠ADC=∠AFC=90°，
∴A、F、D、C四点共圆，
∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°，∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD，
∴∠EFG=∠ABD，
∵CF⊥AD，AD⊥BC，
∴F、N、D、G四点共圆，
∴∠EGF=∠AND，
∵∠AND＞∠ABD，∠EFG=∠ABD，
∴∠EGF＞∠EFG，
∴DF＜EF．

点评：本题综合考查了相似三角形的性质和判定，四点共圆等知识点，此题难度较大，对学生提出了较高的要求，但题型较好．