题目内容
已知,在等腰△ABC中,AB=AC,在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD,连结DE,DE所在直线交直线BC于点M.
请探究:
(1) 如图①,当点E在线段AC上,点D在AB延长线上时,若BD=CE,请判断线段MD和线段ME的数量关系,并证明你的结论;
(2) 如图②,当点E在CA的延长线上,点D在AB的延长线上时,若BD=CE,则(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由。
(3)如图③,当点E在CA的延长线上,点D在线段AB上(点D不与A、B重合),DE所在直线与直线BC交于点M,若CE=mBD,(m>1),请你判断线段MD与线段ME的数量关系,并说明理由。
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解:(1)DM=EM;
证明:过点E作EF∥AB交BC于点F,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C;
又∵EF∥AB,∴∠ABC=∠EFC,∴∠EFC=∠C,
∴EF=EC.又∵BD=EC,∴EF=BD.
又∵EF∥AB,∴∠ADM=∠MEF.
在△DBM和△EFM中,∠BDE=∠FEM,∠BMD=∠FME,BD=EF
∴△DBM≌△EFM,∴DM=EM.……………..3分
(2)成立;
证明:过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C;
又∵EF∥AB,∴∠ABC=∠EFC,
∴∠EFC=∠C,∴EF=EC.
又∵BD=EC,∴EF=BD.
又∵EF∥AB,∴∠ADM=∠MEF.
在△DBM和△EFM中,∠BDE=∠FEM,∠BMD=∠FME,BD=EF
∴△DBM≌△EFM;∴DM=EM;……………..7分
(3) MD=ME.
过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F,
由(2)可知EC=EF
∴EC:BD=EF:BD=EM:DM=m
∴EM=mDM………….9分
