题目内容

已知,在等腰△ABC中,ABAC,在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD,连结DEDE所在直线交直线BC于点M.

请探究:

(1)       如图①,当点E在线段AC上,点DAB延长线上时,若BDCE,请判断线段MD和线段ME的数量关系,并证明你的结论;

(2)       如图②,当点ECA的延长线上,点DAB的延长线上时,若BDCE,则(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由。

(3)如图③,当点ECA的延长线上,点D在线段AB上(点D不与AB重合),DE所在直线与直线BC交于点M,若CEmBD,(m>1),请你判断线段MD与线段ME的数量关系,并说明理由。

 


解:(1)DMEM

证明:过点EEFABBC于点F

ABAC,∴∠ABC=∠C

又∵EFAB,∴∠ABC=∠EFC,∴∠EFC=∠C

EFEC.又∵BDEC,∴EFBD

又∵EFAB,∴∠ADM=∠MEF

在△DBM和△EFM中,∠BDE=∠FEM,∠BMD=∠FMEBDEF

∴△DBM≌△EFM,∴DMEM.……………..3分

(2)成立;

证明:过点EEFABCB的延长线于点F

ABAC,∴∠ABC=∠C

又∵EFAB,∴∠ABC=∠EFC

∴∠EFC=∠C,∴EFEC

又∵BDEC,∴EFBD

又∵EFAB,∴∠ADM=∠MEF

在△DBM和△EFM中,∠BDE=∠FEM,∠BMD=∠FMEBDEF

∴△DBM≌△EFM;∴DM=EM;……………..7分

(3)       MDME

过点EEFABCB的延长线于点F

由(2)可知EC=EF

∴EC:BD=EF:BD=EM:DM=m

∴EM=mDM………….9分

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