题目内容
【题目】如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的动点,PC∥AB,点M是OP中点.
(1)求证:四边形AOCP是平行四边形;
(2)填空:①当∠ABP= 时,四边形AOCP是菱形;
②连接BP,当∠ABP= 时,PC是⊙O的切线.
【答案】(1)证明见解析;(2)①30°;②45°.
【解析】
(1)先判断出四边形OBCP是平行四边形,得出OB=PC,OB∥PC,再判断出OA=PC,从而得出结论;
(2)根据圆周角定理得到∠AOP=60°,推出△AOP是等边三角形,得到AP=AO,于是得到四边形AOCP是菱形;由圆周角定理得到∠AOP=90°,根据平行线的性质得到∠OPC=∠AOP=90°,于是得到结论.
(1)∵点M是OP中点,
∴AM=CM,
∵AO=BO,
∴OM∥BC,
∴OP∥BC,
∵PC∥AB,
∴四边形OBCP是平行四边形;
(2)当∠ABP=30度时,四边形AOCP是菱形;
理由:∵∠ABP=30°,
∴∠AOP=60°,
∵AO=PO,
∴△AOP是等边三角形,
∴AP=AO,
∴四边形AOCP是菱形;
当∠ABP=45度时,PC是⊙O的切线;
理由:∵∠ABP=45°,
∴∠AOP=90°,
∵AO∥PC,
∴∠OPC=∠AOP=90°,
∴PC是⊙O的切线.

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