Question

如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：
①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．
其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据等腰三角形性质求出AD⊥BC，BD=DC，根据角平分线性质得出DE=DF，根据勾股定理求出AE=AF，即可得出答案．

解答：解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠EDA+∠BAD=∠FDA+∠CAD=90°，
∴∠EDA=∠FDA，
即DA平分∠EDF，∴①正确；
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AF²=AD²-DF²，
∴AE=AF，∴②正确；
∵AC=AB，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD平分BC，
∴AD上的点到B、C两点的距离相等，∴③正确；
∵AD平分∠EAF，也平分∠EDF，
∴到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等，∴④正确．
故选D．

点评：本题考查了勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．