题目内容
将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F。
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜α＜180°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜α＜180°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。
| 解：（1）连接BF（如图①）， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE，AC=DE ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴∠BCF=∠BEF=90°， ∵BF=BF， ∴Rt△BFC≌Rt△BFE， ∴CF=EF， 又∵AF+CF=AC， ∴AF+EF=DE； （2）画出正确图形如图②，（1）中的结论AF+EF =DE仍然成立； （3）不成立．此时AF、EF与DE的关系为AF-EF=DE， 理由：连接BF（如图③）， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE，AC=DE， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴∠BCF=∠BEF=90°， 又∵BF=BF， ∴Rt△BFC≌Rt△BFE， ∴CF=EF， 又∵AF-CF=AC， ∴AF-EF=DE， ∴（1）中的结论不成立，正确的结论是AF-EF=DE。 |
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