Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2) 连接OC,当BC＝3时，求劣弧AC的长和扇形B0C的面积．

Answer 1

【答案】(1)见详解;(2)劣弧AC的长为2π；和扇形BOC的面积为;

【解析】

（1）因为AB是圆O直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，又因为∠D=60°，所以其在同一个圆中，同弧对应的圆周角相等，即∠B=60°，所以∠CAB=30°，从而证明∠BAE为90°，所以AE是圆O的切线

（2）连接OC，由∠D=60°得到劣弧AC对应的圆心角为120°，再得出三角形BOC是等边三角形从而知道半径长，再利用弧长公式（其中为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径）求出弧长即可；先求出劣弧BC对应的圆心角度数，然后利用扇形面积公式（，其中为n°的圆心角所对扇形的面积，R为圆的半径）求解即可

（1）∵AB是圆O直径

∴∠ACB=90°

又∵∠D=60°

∴∠B=60°

∴∠CAB=30°

又∵∠EAC＝60°

∴∠EAC+∠CAB=90°

∴∠BAE=90°

∴AE是⊙O的切线

（2）如图

∵∠D=60°

∴∠AOC=120°

∴∠BOC=60°

又∵OB=OC

∴△BOC为等边三角形

∴OC=3

∴劣弧AC的长==

∵∠BOC=60°

∴扇形BOC的面积==