Question

已知：正方形ABCD的边长为4，⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T，连接TO交⊙O于点S．

（1）如图1，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD内部时，连接DT、DS．
①试判断线段DT、DS的数量关系和位置关系；
②求AS+AT的值；
（2）如图2，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD外部时，连接DT、DS．求AS-AT的值；
（3）如图3，延长DA到点E，使AE=AD，当⊙O经过A、E两点时，连接ET、ES．根据（1）、（2）计算，通过观察、分析，对线段
AS、AT的数量关系提出问题并解答．

Answer 1

（1）①线段DT、DS的数量和位置关系分别是：DT=DS，DT⊥DS．理由如下：
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠TAD=45°，
∵TS为直径，
∴∠SDT=90°，
又∵∠TSD=∠TAD，
∴∠TSD=45°，
∴△DST为等腰直角三角形，
∴DT=DS，DT⊥DS；
②∵∠SDT=∠ADC=90°，
∴∠SDA=∠CDT，
又∵TS为直径，
∴∠SAT=90°，
∴∠SAD=45°，
∴∠SAD=∠DCT，
而DA=DC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS+AT=AC，
而正方形ABCD的边长为4，
∴AC=4

2

，
∴AS+AT=4

2

；
（2）∵TS为直径，
∴∠SAT=90°，∠SDT=90°，
∴∠SAC=90°，
而∠CAD=45°，
∴∠SAD=45°，
∴∠STD=45°，
∴△DST为等腰直角三角形，
∴DS=DT，
又∵∠SAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS-AT=TC-AT=AC=4

2

；
（3）提出的问题是：求AT-AS的值．解答如下：
在TA上截取TF=AS，连接EF，如图，
∵∠TAE=∠BAC=45°，
∴△EST为等腰直角三角形，
∴SE=TE，
又∵∠ASE=∠ETF，
在△EAS和△EFT中，

SA=TF ∠ASE=∠FTE SE=TE

∴△EAS≌△EFT（SAS），
∴∠SEA=∠TEF，AE=EF，
而∠TES=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=

2

AE，
∵AE=AD=4，
∴AT-AS=AT-TF=AF=4

2

．