题目内容
（2012•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果△ADC和△BDC的周长之比是1：3，则cot∠BCD=| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
分析：根据直角三角形的直角的关系可以推出∠BCD=∠A，然后根据锐角三角函数的定义用BD表示CD，用BC表示AC，用CD表示AD，然后根据△ADC和△BDC的周长的比列式即可求解．
解答：解：∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴CD=BD•cot∠BCD，
AC=BC•cot∠A，
AD=CD•cot∠A，
∴△ADC和△BDC的周长的比为
=
=cot∠BCD，
∵△ADC和△BDC的周长之比是1：3，
∴cot∠BCD=
．
故答案为：
．
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴CD=BD•cot∠BCD，
AC=BC•cot∠A，
AD=CD•cot∠A，
∴△ADC和△BDC的周长的比为
| CD+AD+AC |
| BD+BC+CD |
| BD•cot∠BCD+CD•cot∠A+BC•cot∠A |
| BD+BC+CD |
∵△ADC和△BDC的周长之比是1：3，
∴cot∠BCD=
| 1 |
| 3 |
故答案为：
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，用三角函数表示出边的关系是解题的关键．
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