题目内容

(2012•徐汇区一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,AB=10,tanA=
43
,点P是CE延长线上的一动点,过点P作PQ⊥CB,交CB延长线于点Q,设EP=x,BQ=y.
(1)求y关于x的函数关系式及定义域;
(2)连接PB,当PB平分∠CPQ时,求PE的长;
(3)过点B作BF⊥AB交PQ于F,当△BEF和△QBF相似时,求x的值.
分析:(1)利用tanA=
BC
AC
,以及AB=10,即可求出BC,AC,再利用△PCQ∽△ABC,利用相似三角形的性质求出y与x的关系式即可;
(2)利用PB平分∠CPQ,BQ⊥PQ,垂足为Q.得出BM=BQ=y,进而求出x即可;
(3)分两种情况:①当∠FEB=∠A时,②当∠FEB=∠ABC时,分别求出即可.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
tanA=
BC
AC
=
4
3
,AB=10,
∴BC=8,AC=6,
∵CE是斜边AB上的中线,
CE=BE=
1
2
AB=5

∴∠PCB=∠ABC,
∵∠PQC=∠ACB=90°,
∴△PCQ∽△ABC,
CQ
PC
=
BC
AB
=
4
5

8+y
5+x
=
4
5

y=
4
5
x-4
,定义域为x>5.

(2)过点B作BM⊥PC,垂足为M.
∵PB平分∠CPQ,BQ⊥PQ,垂足为Q.
∴BM=BQ=y,
tanA=
4
3
=
BC
AC

设AC=3x,则BC=4x,AB=5x,
∴sin∠MCB=
BM
BC
=
AC
AB
=
3
5

BM=
3
5
BC=
3
5
×8=
24
5

4
5
x-4=
24
5

∴x=11,

(3)∵∠Q=∠ACB=90°,∠QBF=∠A,
∴△BQF∽△ABC,
当△BEF和△QBF相似时,
可得△BEF和△ABC也相似.
分两种情况:
①当∠FEB=∠A时,
在Rt△FBE中,∠FBE=90°,BE=5,BF=
5
3
y

5
3
(
4
5
x-4)=
4
3
×5

解得x=10;  
②当∠FEB=∠ABC时,
在Rt△FBE中,∠FBE=90°,BE=5,BF=
5
3
y

5
3
(
4
5
x-4)=
3
4
×5

解得x=
125
16

综合①②,x=
125
16
或10.
点评:此题主要考查了相似三角形的性质与判定,相似三角形的考查是中考中重点题型,同学们应重点掌握.
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