Question

（2007•宣武区一模）已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x．

（1）如图1，当⊙O与AM相切于点F时，求x的值；
（2）如图2，当⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°时，求x的值．

Answer 1

分析：（1）过O作OF⊥AM于F，根据切线的概念，切线到圆心的距离等于半径故当OF=r=2时，⊙O与AM相切，然后解直角三角形求得AD的值；
（2）过O点作OG⊥AM于G，证得△OBC，△BGO与△CGO是等腰直角三角形，再解直角三角形，求得AD的值．

解答：解：（1）如图1，连接OF，
∵⊙O与AM相切，
∴OF=r=2，
此时OA=OF÷sin30°=4，
故x=AO-OD=2；

（2）解：如图2，过O点作OG⊥AM于G
当∠BOC=90°，
∵OB=OC=2，
∴BC=2

2

，
又∵OG⊥BC，
∴BG=CG=

2

∴OG=

2

，
∵∠A=30°
∴0A=2

2

，
∴x=AD=AO-OD=2

2

-2．

点评：本题考查了利用了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，以及含30°角的直角三角形的性质，题目的难度不大．