Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y=

5

4

作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点F(1，

3

4

)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c的值．
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长．
（3）存在，Rt△PNH中，利用勾股定理建立起y与t的关系式，推出t的值，即可得知存在这样的点．

解答：解：（1）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，
可得-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=1，c=0，
∴a=-1，b=2，c=0．

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x²+2x，
故设P点的坐标为（m，-m²+2m），则M点的坐标（m，

5

4

），
∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形
∴PF=MF，即（m-1）²+（-m²+2m-

3

4

）²=（m-1）²+（

3

4

-

5

4

）²
∴-m²+2m-

3

4

=

1

2

或-m²+2m-

3

4

=-

1

2

，
①当-m²+2m-

3

4

=

1

2

时，即-4m²+8m-5=0
∵△=64-80=-16＜0
∴此式无解
②当-m²+2m-

3

4

=-

1

2

时，即m²-2m=-

1

4

∴m=1+

3

2

或m=1-

3

2

Ⅰ、当m=1+

3

2

时，P点的坐标为（1+

3

2

，

1

4

），M点的坐标为（1+

3

2

，

5

4

）
Ⅱ、当m=1-

3

2

时，P点的坐标为（1-

3

2

，

1

4

），M点的坐标为（1-

3

2

，

5

4

），
经过计算可知PF=PM，
∴△MPF为正三角形，
∴P点坐标为：（1+

3

2

，

1

4

）或（1-

3

2

，

1

4

）．

（3）当t=

3

4

时，即N与F重合时PM=PN恒成立．
证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H，
在Rt△PNH中，
PN²=（x-1）²+（t-y）²=x²-2x+1+t²-2ty+y²，
PM²=（

5

4

-y）²=y²-

5

2

y+

25

16

，
P是抛物线上的点，
∴y=-x²+2x；∴PN²=1-y+t²-2ty+y²=y²-

5

2

y+

25

16

，
∴-

3

2

y+2ty+

9

16

-t²=0，y（2t-

3

2

）+（

9

16

-t²）=0对任意y恒成立．
∴2t-

3

2

=0且

9

16

-t²=0，
∴t=

3

4

，
故t=

3

4

时，PM=PN恒成立．
∴存在这样的点．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高．