题目内容
【题目】苏科版九年级下册数学课本65页有这样一道习题：
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）△ACD与△CBD相似吗？为什么？
（2）图中还有几对相似三角形？是哪几对？
复习时，小明提出了新的发现：“利用△ACD∽△CBD∽△ABC可以进一步证明：
①CD2=ADBD，②BC2=BDAB，③AC2=ADAB．”
（1）请你按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明；
（2）小亮研究“小明的发现”时，又惊喜地发现，利用“它”可以证明“勾股定理”，请你按照小亮思路完成这个证明；
（3）小丽也由小明发现的“CD2=ADBD”，进一步发现：“已知线段a、b，可以用尺规作图作出线段c，使c2=ab”，请你完成小丽的发现．（不要求写出作法，请保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）利用相似三角形的性质即可证明；
（2）利用（1）中结论，可得BC2=BDAB，AC2=ADAB
推出BC2+AC2=BDAB+ADAB=AB（BD+AD）=ABAB=AB2；
（3）作以a+b为直径的圆即可解决问题；
（1）证明：∵△ACD∽△CBD
∴
=
，
∴CD2=ADBD．
其余证明方法类似．
（2）证明：∵BC2=BDAB，AC2=ADAB
∴BC2+AC2=BDAB+ADAB
=AB（BD+AD）
=ABAB=AB2
∴BC2+AC2=AB2
（3）如图，线段c即为所求；
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