题目内容
【题目】（方法回顾）
课本研究三角形中位线性质的方法
已知：如图①， 已知
中，
，
分别是
，
两边中点．
求证：
，
证明：延长
至点
，使
， 连按
．可证：
（ ）
由此得到四边形
为平行四边形， 进而得到求证结论
（1）请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图①中作出证明中所描述的辅助线（请用
铅笔作辅助线）；
②在证明的括号中填写理由（请在
，
，
，
中选择） .
（问题拓展）
（2）如图②，在等边中， 点是射线
上一动点（点在点
的右侧），把线段
绕点逆时针旋转
得到线段，点是线段
的中点，连接
、
．
①请你判断线段与
的数量关系，并给出证明；
②若
，求线段长度的最小值．
【答案】【方法回顾】（1）①在图①中作出证明中所描述的辅助线，见解析；②
；（2）①
，证明见解析；②线段
长度的最小值为
．
【解析】
（1）①根据题意画出辅助线即可；
②由题可知判断全等的条件是；
（2）①延长
至点
，使得
，连接
，
，证明
，得到
，由
绕点
逆时针旋转
得到线段
，可得到
为等边三角形，可推出
为等边三角形，得到
；
②连接
，取
的中点
，连接作射线
，由
为等腰三角形，
，得到
，由点为的中点，点
为
的中点，得到
，当
时，最短，在
中，
，
．
（1）①在图①中作出证明中所描述的辅助线如图所示：
②．
（2）①，
延长至点，使得，
连接，，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
为等边三角形，
， 
，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
；
②连接，取的中点，连接作射线，
为等腰三角形，，
，
点为的中点，点为的中点，
，
，
点的轨迹为射线，且，
当时，最短，
，
，
在中，
，
，
即线段长度的最小值为．
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