Question

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数。

（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b<k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

Answer 1

解：（1）由题意得，Δ=16-8（k-1）≥0，∴k≤3， ∵k为正整数，∴k=1，2，3；
（2）当k=1时，方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零； 当k=2时，方程2x2+4x+k-1=0无整数根； 当k=3时，方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根， 综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去； k=3符合题意， 当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6；
（3）设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A（-3，0），B（1，0）， 依题意翻折后的图象如图所示，当直线经过A点时，可得， 当直线，经过B点时可得， 由图象可知，符合题意的b（b<3）的取值范围为。