题目内容
【题目】如图,在Rt△ACB中,∠A=30°,过点B、C的⊙O交AB于D,交AC于E,点F在AE上,连接DE、DC、BE和DF,已知BC=EC,AD=AF.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)当BC=4时,求弦CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)CD=2 .
【解析】试题分析:(1)连接半径OD,可求得∠ODB=15°,∠ADF=75°,进一步可求得∠ODF=90°,可证得结论;(2)先求出BE,证明△ADC∽△AEB,有,可求出CD的长.
试题解析:(1)如图,连接半径OD,
∵∠A=30°,AF=AD,
∴∠ADF=75°,
∵BE为直径,BC=EC,
∴∠CBE=45°,且∠ABC=60°,
∴∠OBD=∠ODB=15°,
∴∠ODF=180°﹣(∠ODB+∠ADF)=90°,
∴DF是⊙O的切线;
(2)在Rt△BCE中,BC=CE=4,
∴BE=,
∵∠A=30°,
∴AB=2BC=8,AC=,
又∠ABE=∠DCA,∠A=∠A,
∴△ADC∽△AEB,
∴,即,
解得CD=.
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