Question

【题目】如图，OA是⊙M的直径，点B在x轴上，连接AB交⊙M于点C．

（1）若点A的坐标为（0，2），∠ABO=30°，求点B的坐标．
（2）若D为OB的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A的坐标为（0，2）

∴OA=2，

∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，

∴AB=2OA=4，

∴由勾股定理可知：OB=2 ，

∴B（2 ，0）

（2）解：连接OC，MC

∵OA是⊙M的直径，

∴∠ACO=90°，

∴∠OCB=90°，

在Rt△OCB中，D为OB的中点，

∴CD= OB=OD，

∴∠DCO=∠DOC，

∵MC=MO，

∴∠OCM=∠COM

∵∠MOC+∠DOC=∠AOB=90°，

∴∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°

即MC⊥CD

∴直线CD是⊙M的切线．

【解析】（1）由点A的坐标可知OA的长度，根据∠ABO的度数可知，AB的长度为4，利用勾股定理即可求出OB的长度，从而求出B的坐标．（2）连接OC、MC、证明∠OCB为直角，根据D为OB的中点，可知∠DCO=∠DOC，易知∠OCM=∠COM，所以∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°，即可求证MC⊥CD．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．