题目内容
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),PE上BP,P为垂足,PE交DC于点E.(1)△ABP和△DPE是否相似?请说明理由;
(2)设AP=x,DE=y,求y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围;
(3)请你探索在点P运动的过程中,四边形ABED能否构成矩形?如果能,求出AP的长;如果不能,请说明理由;
(4)请你探索在点P的运动过程中,△BPE能否构成等腰三角形?如果能.求出AP的长;如果不能,请说明理由.
分析:(1)△ABP和△DPE是相似的,∵∠A=∠D=90°,而∠BPE=90°,根据这两个条件可以证明它们相似;
(2)根据(1)得到
=
,根据这个结论就可以求出y与x之间的函数关系式;
(3)能构成矩形,∵四边形ABED已经是直角梯形,若AB=DE它就是矩形,根据这个条件和(2)中函数关系式可以求出AP长;
(4)能构成等腰三角形,当AP=DE时,△ABP≌△DPE,这样可以得到BP=PE,此时△BPE为等腰三角形,然后根据函数关系式就可以求出AP长.
(2)根据(1)得到
AP |
DE |
AB |
PD |
(3)能构成矩形,∵四边形ABED已经是直角梯形,若AB=DE它就是矩形,根据这个条件和(2)中函数关系式可以求出AP长;
(4)能构成等腰三角形,当AP=DE时,△ABP≌△DPE,这样可以得到BP=PE,此时△BPE为等腰三角形,然后根据函数关系式就可以求出AP长.
解答:解:(1)△ABP∽△DPE.
(2)由(1)△ABP∽△DPE,
∴
=
∴
=
,
∴y=-
x2+
x(0<x<5).
(3)能构成矩形.
当DE=AB=2时,∵AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABED为平行四边形,
∵∠A=90°,
∴平行四边形ABED为矩形.
由(2)有-
x2+
x=2.x1=1,x2=4.
∴当AP=1或AP=4时,ABED是矩形.(9分)
(4)能构成等腰三角形.
当AP=DE时,△ABP≌△DPE,此时△BPE为等腰三角形.(1O分)
即-
x2+
x=x.解之得x1=3,x2=0(舍去).
即AP=3时,△BPE是等腰三角形(答等腰直角三角形同样正确).(12分)
(2)由(1)△ABP∽△DPE,
∴
AP |
DE |
AB |
PD |
x |
y |
2 |
5-x |
∴y=-
1 |
2 |
5 |
2 |
(3)能构成矩形.
当DE=AB=2时,∵AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABED为平行四边形,
∵∠A=90°,
∴平行四边形ABED为矩形.
由(2)有-
1 |
2 |
5 |
2 |
∴当AP=1或AP=4时,ABED是矩形.(9分)
(4)能构成等腰三角形.
当AP=DE时,△ABP≌△DPE,此时△BPE为等腰三角形.(1O分)
即-
1 |
2 |
5 |
2 |
即AP=3时,△BPE是等腰三角形(答等腰直角三角形同样正确).(12分)
点评:此题把相似三角形的判定与性质和梯形结合起来,综合性比较强,还利用了函数中求自变量和函数值解题
练习册系列答案
相关题目