题目内容

(1997•广州)如图,点B的坐标为(0,-2),点A在x轴正半轴上,将Rt△AOB绕y轴旋转一周,得到一个圆锥.
(1)当圆锥的侧面积为
5
π时,求AB所在直线的函数解析式;
(2)若已知OA的长度为a,按这个圆锥的形状造一个容器,并在母线AB上刻出把这个容器的容积两等分的刻度点C,试用含a的代数式去表示BC的长度t(圆锥体积公式:V=
1
3
πr2h,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高).
分析:(1)设点A的坐标为(x,0),求出AB,根据侧面积得出方程
1
2
•2xπ•
x2+4
=
5
π,求出x,得出A的坐标,设直线AB的函数解析式为y=kx+b,把A、B的坐标代入求出即可;
(2)作CE⊥BO,垂足为E,根据面积得出EC2×BE=OA2=a2,①根据相似得出
EC
BE
=
a
2
,②由①、②求出EC=
a
32
,根据△EBC∽△OBA,推出
t
AB
=
EC
a
,即可求出答案.
解答:(1)解:设点A的坐标为(x,0),
则AB=
OA2+OB2
=
x2+4

根据题意,得
1
2
•2xπ•
x2+4
=
5
π,
解得:x=1,(x=-1不合题意,舍去),
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,
把A(1,0),B(0,-2)分别代入上式得:
k+b=0
b=-2

解得:k=2,b=-2,
∴直线AB的函数解析式为y=2x-2;

(2)解:作CE⊥BO,垂足为E,
根据题意:
1
2
×
1
3
π×OA2×OB=
1
3
π×EC2×EB,
化简得:EC2×BE=OA2
即EC2×EB=a2,①
∵△EBC∽△OBA,
EC
BE
=
a
2
,②
由①、②,得
EC=
a
32

∵△EBC∽△OBA,
t
AB
=
EC
a

∴t=
EC×AB
a

=
EC•
a2+4
a

=
a
32
a2+4
a

=
a2+4
32

即t=
34
2
a2+4
点评:本题考查了勾股定理,圆锥的侧面积,相似三角形的性质和判定等知识点的应用,主要培养学生运用知识点进行计算和推理的能力,题目比较典型,但是有一定的难度.
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