题目内容
如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是射线BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=m，BC=n（m、n为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E沿射线CN运动时，请用含m、n的代数式表示tan∠FCN的值．
（1）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=m，BC=n（m、n为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E沿射线CN运动时，请用含m、n的代数式表示tan∠FCN的值．
考点：四边形综合题
专题：几何综合题,数形结合
分析：（1）利用正方形的性质首先得出∠FEH=∠BAE，即可得出△EHF≌△ABE（AAS），求出∠FCN的度数即可；
（2）利用矩形的性质得出以及全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质得出△EFH≌△AGD，△EFH∽△AEB，即可得出tan∠FCN=
=
=
．
（2）利用矩形的性质得出以及全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质得出△EFH≌△AGD，△EFH∽△AEB，即可得出tan∠FCN=
| FH |
| CH |
| EH |
| AB |
| n |
| m |
解答：解：（1）∠FCN=45°，
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
在△EHF和△ABE中
，
∴△EHF≌△ABE（AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCH=45°；
（2）如图（2）作FH⊥MN于H．
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
结合（1）易得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
在△EFH和△AGD中
，
∴△EFH≌△AGD（AAS），
∵∠BAE=∠FEH，∠ABE=∠FHE，
∴△EFH∽△AEB，
∴EH=AD=BC=n，∴CH=BE，
∴
=
=
，
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN=
=
=
，
∴当点E沿射线CN运动时，tan∠FCN=
．
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
在△EHF和△ABE中
|
∴△EHF≌△ABE（AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCH=45°；
（2）如图（2）作FH⊥MN于H．
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
结合（1）易得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
在△EFH和△AGD中
|
∴△EFH≌△AGD（AAS），
∵∠BAE=∠FEH，∠ABE=∠FHE，
∴△EFH∽△AEB，
∴EH=AD=BC=n，∴CH=BE，
∴
| EH |
| AB |
| FH |
| BE |
| FH |
| CH |
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN=
| FH |
| CH |
| EH |
| AB |
| n |
| m |
∴当点E沿射线CN运动时，tan∠FCN=
| n |
| m |
点评：此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质以及正方形和矩形的性质等知识，注意数形结合得出全等三角形是解题关键．
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