题目内容

已知:如图,点B在y轴的负半轴上,点A在x轴的正半轴上,且OA=2,tan∠OAB=2.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线AB的解析式;
(3)若点C的坐标为(-2,0),在直线AB上是否存在一点P,使△APC与△AOB相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由已知数据求出OB的长即可求出B的坐标;
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(2,0)和B(0,-4)的坐标代入求出k和b的值即可求出直线AB的解析式;
(3)在直线AB上是否存在一点P,使△APC与△AOB相似,过C作P1C∥OB交AB于P1,这时△APC与△AOB相似,过C作P2C⊥AB交AB于P2,过P2作P1D⊥AC于D,则△AOB∽△ACP2,有相似三角形的性质即可求出符合题意的点P的坐标.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,
tan∠OAB=
OB
OA

∵OA=2,tan∠OAB=2,
∴OB=4,
∵点B在y轴的负半轴上,
∴B(0,-4),

(2)∵OA=2,
∴A(2,0),
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
-4=b
0=2k+b

k=2
b=-4

∴直线AB的解析式为y=2x-4;      

(3)过C作P1C∥OB交AB于P1
这时△APC与△AOB相似,
当x=-2时,y=-8,
则P1(-2,-8),
过C作P2C⊥AB交AB于P2,过P2作P1D⊥AC于D,
由△AOB∽△ACP2,求出AP2=
4
5
5

由△AOB∽△ADP2,求出AD=
4
5

则OD=
6
5

当x=
6
5
时,y=-
8
5

则P1
6
5
,-
8
5
),
存在点P1(-2,-8)或(
6
5
,-
8
5
),使△APC与△AOB相似.
点评:本题考查了锐角三角函数值的运用、用待定系数法求一次函数的解析式以及相似三角形的判定和性质,题目的综合性强,难度大,解题的时要注意分类讨论的数学思想的运用.
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