Question

如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交

于点C，且当=0和=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥轴于点Q。若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；

（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。

Answer 1

解：（1）∵当和时，的值相等，∴，

∴，∴

将代入，得，

将代入，得

∴设抛物线的解析式为

将点代入，得，解得．

∴抛物线，即

（2）设直线OM的解析式为，将点M代入，得，

∴

则点P,,而,．

=

的取值范围为：＜≤

（3）随着点的运动，四边形的面积有最大值．

   从图像可看出，随着点由→运动，的面积与的面积在不断增大,即不断变大，当然点运动到点时，最值

   此时时，点在线段的中点上

  因而．

  当时，,∥,∴四边形是平行四边形．

（4）随着点的运动，存在，能满足

   设点，，． 由勾股定理，得．

   ∵,∴，＜，（不合题意）

   ∴当时，