题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,D是⊙O上的一点,且AD∥CO,连结CD
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=2,CD= ,求AD的长.(结果保留根号)

【答案】
(1)证明:连接OD,

∵AD∥OC,

∴∠1=∠3,∠2=∠4

∵OA=OD

∴∠3=∠4

∴∠1=∠2,

在△OCB与△OCD中.

∴△OCB≌△OCD.(SAS).

∴∠ODC=∠OBC.

∵BC是⊙O的切线

∴∠OBC=90°.

∴∠ODC=90°.

∴OD⊥CD.

∴CD切⊙O于D;


(2)解:由(1)知:CD、BC是⊙O的切线,

∴BC=CD=

在Rt△OCB中,

∵OB= AB=1,

∴OC=

由(1)知:∠2=∠4,

∵AB是直径,

∴∠ADB=90°.

∴∠ADB=∠ABC=90°.

∴△OCB∽△ABD,


【解析】(1)连接OD,SAS证明△ODC≌△OBC,得出∠CDO=∠CBO=90°,即可得出CD是⊙O的切线;(2)先求出OB,OC的长,再运用△ADB∽△OBC,求出AD的长.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.

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