Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线AC的解析式为y=-

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2

x+2，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．

Answer 1

（1）∵直线AC的解析式为y=-

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2

x+2，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A，
∴A（0，2），C（4，0），
∴OC=4，
∵三角形OBD是等腰直角三角形，
∴B（2，2）；

（2）∵等腰三角形OBD是轴对称图形，对称轴是l
∴点O与点C关于直线l对称，
∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P，
把x=2代入y=-

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x+2，得y=1，
∴点P的坐标为（2，1）；

（3）设满足条件的点Q的坐标为（m，-

1

2

m+2），
由题意得-

1

2

m+2=m或-

1

2

m+2=-m，
解得m=

4

3

或m=-4，
∴点Q的坐标为（

4

3

，

4

3

）或（-4，4）．