Question

几何证明
（1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG=

1

2

（AB+BC+AC）．
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图1），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定定理ASA证得△ABF≌△MBF，然后由全等三角形的对应边相等进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，由此可以证明FG为△AMN的中位线，然后利用中位线定理求得FG=

1

2

（AB+BC+AC）；
（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案．

解答：解：（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
在△ABF和△MBF中，
∵

∠AFB=∠MFB   BF=BF    ∠ABF=∠MBF

，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB=AB
∴AF=MF，
同理：CN=AC，AG=NG，
∴FG是△AMN的中位线
∴FG=

1

2

MN，
=

1

2

（MB+BC+CN），
=

1

2

（AB+BC+AC）．

（2）图2中，FG=

1

2

（AB+AC-BC）
理由如下：如图2，
延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，
∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，
∴NB=AB，AF=NF，
同理CM=AC，AG=MG
∴FG=

1

2

MN，
∴MN=2FG，
∴BC=BN+CM-MN=AB+AC-2FG，
∴FG=

1

2

（AB+AC-BC），
答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG=

1

2

（AB+AC-BC）．

点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线转化成三角形的中位线．