题目内容
【题目】如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；
（3）如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小
【答案】
（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE=∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，
∵PC= 
AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ，
在△PCE与△EDQ中，
，
∴△PCE≌△EDQ；
（2）解：如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AP=OR=RB，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=60°，
∴△ARB是等边三角形；
（3）解：如图3中，
由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，
∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，
∵△ARB∽△PEQ，
∴∠ARB=∠PEQ=90°，
∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD= ∠ARB=45°，
∴∠MON=180°﹣∠CRD=135°．
【解析】（1）此小题关键是根据三角形的中位线的性质得到得出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形得到∠PCO=∠QDO=90°，PC=ED，CE=DQ，即可得到结论；
（2）连接RO，由垂直平分线的性质，得到AP=OR=RB，再由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，在四边形CRDO中得到∠CRD=30°，即可得到结论；
（3）由（1）得EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到∠ARB=∠PEQ=90°，从而求得∠MON的度数.
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．
