Question

（2013•河西区二模）有下列结论：
①对于两个实数x和y，若x²+3x-9=0，y²+3y-9=0，则x=y；
②对于两个实数x和y，若x+y=1，则x²+y²的最小值为

1

2

；
③对于两个给定的实数x和y，若使（x-m）²+（y-m）²达到最小，则m=

x+y

2

．
其中正确的有（　　）个．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①由于x²+3x-9=0，y²+3y-9=0，则x、y是一元二次方程z²+3z-9=0的两个根，计算判别式△的值，即可判断；
②由x+y=1，用含y的代数式表示x，再代入x²+y²，然后利用二次函数的性质，即可判断；
③将（x-m）²+（y-m）²变形为2（m-

x+y

2

）²+（x²+y²）-

1

2

（x+y）²，然后利用二次函数的性质，即可判断．

解答：解：①∵x²+3x-9=0，y²+3y-9=0，
∴x、y是一元二次方程z²+3z-9=0的两个根，
∵△=9-4×1×（-9）=45＞0，
∴方程z²+3z-9=0有两个不相等的实数根，
∴x与y可能不相等；
②∵x+y=1，∴x=1-y，∴x²+y²=（1-y）²+y²=2（y-

1

2

）²+

1

2

，
∴当y=

1

2

时，x²+y²有最小值为

1

2

；
③∵（x-m）²+（y-m）²=2m²-2m（x+y）+x²+y²=2（m-

x+y

2

）²+（x²+y²）-

1

2

（x+y）²；
∴当m=

x+y

2

时，（x-m）²+（y-m）²有最小值

1

2

（x+y）²；
所以正确的结论是②③，
故选C．

点评：本题考查了一元二次方程，配方法的应用及二次函数的性质，有一定难度，正确配方是关键．