Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y= 的图象经过点D，与BC的交点为N．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵正方形OABC的顶点C（0，3），

∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，

∵AD=2DB，

∴AD= AB=2，

∴D（﹣3，2），

把D坐标代入y= 得：m=﹣6，

∴反比例解析式为y=﹣ ，

∵AM=2MO，

∴MO= OA=1，即M（﹣1，0），

把M与D坐标代入y=kx+b中得： ，

解得：k=b=﹣1，

则直线DM解析式为y=﹣x﹣1；

（2）

解：把y=3代入y=﹣ 得：x=﹣2，

∴N（﹣2，3），即NC=2，

设P（x，y），

∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，

∴ （OM+NC）OC= OM|y|，即|y|=9，

解得：y=±9，

当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8，

则P坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）

【解析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD=2DB，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，确定出N坐标，得到NC的长，设P（x，y），根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．