Question

已知，如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer 1

（1）证明：∵∠AOF=90°，∠BAO=90°，
∴AB∥EF，
又∵平行四边形ABCD，
∴AF∥EB，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）当旋转角∠AOF=45°时，四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
在△DFO和△BEO中
∵，
∴△DFO≌△BEO（AAS），
∴OF=OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AB=1，BC=，
∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=2，
∴AO=1=AB，
∴∠AOB=45°，
又∵∠AOF=45°，
∴∠BOF=90°，
∴BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形，
即在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°．
分析：（1）根据∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF，根据平行四边形性质得出AF∥BE，即可推出四边形ABEF是平行四边形；
（2）证△DFO≌△BEO，推出OF=OE，得出四边形BEDF是平行四边形，根据勾股定理求出AC，求出OA=AB=1，求出∠AOB=45°，根据∠AOF=45°，推出EF⊥BD，根据菱形的判定推出即可．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定．菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，此题综合性比较强，但是一道比较好的题目．