Question

如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC=2，BC=1．
（1）求折线OPQB的长的最小值；
（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．

Answer 1

（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，
连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB=QB′，OP=O′P，
折线OPQB的长=OP+PQ+QB=O′P+PQ+QB′，
∴折线OPQB的长的最小值=B′O′．（5分）
∵在长方形ABCD中，∠ABC=90°，
在△ABC中，AC=2，BC=1，∠ABC=90°，
∴∠BAC=30°，
∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，
∴∠B′AC=30°，AB′=AB=

3

，∠O′AB=30°，AO′=AO=1，
∴∠B′AO′=90°，
∴B′O′=

( 3 )2+12

=2，
∴折线OPQB的长的最小值=2；（5分）

（2）设B′O′交AC于点Q′，
∵在Rt△AO′B′中，AO′=1，B′O′=2，
∴∠AB′O′=30°，则∠AO′B′=60°，
∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′=∠Q′AB+∠BAO′=60°，
∴△AO′Q′是等边三角形，
∴AQ′=AO′=1=AO，
∴点Q′就是AC的中点O．
∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．（5分）