题目内容
【题目】如图，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a﹣b=0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．
其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④
【答案】C
【解析】分析：根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，于是可对②进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶点坐标对④进行判断；根据函数图象得当-4<x<-1时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
详解：∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣
=﹣1，
∴2a﹣b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴x=﹣1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以④正确；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（﹣1，3），B点（﹣4，0）
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
点睛:本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0）对称在y轴左；当a 与b异号时即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；b-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
